Science & Technology Development Journal: NATURAL SCIENCES

An official journal of University of Science, Viet Nam National University Ho Chi Minh City, Viet Nam

Skip to main content Skip to main navigation menu Skip to site footer

 Original Research

HTML

7934

Total

87

Share
Plasmon modes in bilayer graphene at finite temperature






 Open Access  

Downloads

Download data is not yet available.

Abstract

New material technology is always one of the areas attracting a lot of attention from scientists over the world. In recent years, material scientists have been paid a large amount of interest in graphene because this material has unique properties and application abilities in lots of technological fields. Collective excitations (or plasmon dispersions) in graphene show that this material can be applied in plasmonic devices with potential properties and less energy consumption, compared to recent materials. This paper calculates collective excitations in bilayer graphene, taking into account the effects of temperature within the random-phase approximation. The results demonstrate that in the nearby Dirac points region (small wave vectors), as temperature increases from zero, plasmon frequency decreases slightly and then increases significantly. With the larger wave vectors, the plasmon frequency behaves as an increasing function of temperature. Numerical calculations present that the contribution of the carrier density to plasmon frequency in the system noticeably decreases as taking into account the temperature effects. Collective excitations in bilayer graphene depend strongly on temperature, therefore this factor should not be neglected in calculations to improve the model and to make a better agreement with experimental results.

GIỚI THIỆU

Graphene, một cấu trúc hai chiều chỉ gồm một lớp các nguyên tử sắp xếp trên mạng hình tổ ong, đã thu hút rất nhiều sự quan tâm nghiên cứu từ các nhà khoa học trong hai thập kỷ gần đây do chúng sở hữu những tính chất điện và tính chất quang đặc biệt cũng như khả năng ứng dụng cao trong công nghệ so với các vật liệu trước đó 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Các tính toán về graphene (graphene đơn lớp – monolayer graphene – MLG) cho thấy, các chuẩn hạt trong graphene là các fermion không khối lượng với phổ tán sắc năng lượng là hàm tuyến tính theo vector sóng và không tồn tại vùng cấm trong phổ năng lượng 7 , 8 , 9 . Đặc tính này hoàn toàn khác với phổ tán sắc parabol và vùng cấm hữu hạn trong khí điện tử hai chiều truyền thống (two-dimensional electron gas – 2DEG) đã được nghiên cứu trước đây 10 , 11 . Sự khác biệt này được cho là mở ra cho graphene một khả năng ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực quang tử, quang điện tử cũng như nhiều lĩnh vực khác nữa 4 , 8 , 9 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 .

Graphene lớp kép (bilayer graphene – BLG) là một cấu trúc gồm hai tấm MLG song song và rất gần nhau đến mức vẫn có thể xem BLG là hệ hai chiều lý tưởng. Với cách tiếp cận này, BLG có nhiều tính chất vật lý khác biệt so với các cấu trúc lớp đôi graphene (double-layer graphene – DLG), một cấu trúc gồm hai lớp MLG với khoảng cách đủ lớn 18 , 19 , 20 , 21 . Sự tương tác giữa các điện tử trong hai lớp MLG làm các chuẩn hạt trong BLG trở thành các chiral fermion có khối lượng với phổ tán sắc parabol theo vector sóng trong vùng năng lượng thấp. Sự khác biệt về bản chất các chuẩn hạt trong BLG kéo theo sự xuất hiện của các đặc tính khác biệt của BLG như hàm phân cực, hàm điện môi, đặc tính chắn, phổ kích thích tập thể, … so với MLG và cả 2DEG truyền thống 8 , 9 , 22 .

Phổ kích thích tập thể (hay phổ plasmon) trong vật liệu đã được nghiên cứu từ sớm và được ứng dụng vào việc chế tạo các thiết bị dẫn quang. Phổ kích thích tập thể trong MLG ở cả nhiệt độ không và nhiệt độ hữu hạn đã được nghiên cứu và công bố từ những năm đầu của thế kỷ này cùng với đó là những đề xuất ứng dụng trong nhiều lĩnh vực công nghệ khác nhau 23 , 24 , 25 , 26 , 27 . Theo sau đó, phổ plasmon trong các cấu trúc nhiều lớp MLG cũng được nghiên cứu và công bố 28 , 29 . Năm 2011, hiệu ứng chắn và kích thích tập thể trong BLG ở nhiệt độ không được nhóm của Sensarma và các cộng sự lần đầu tiên tính toán và công bố 22 . Các tác giả Wang và Chakraborty 30 đã khảo sát hiệu ứng chắn và phổ plasmon trong BLG không pha tạp, cho thấy nhiều kết quả thú vị. Trong những năm gần đây, các tính toán về phổ kích thích tập thể trong cấu trúc lớp có chứa BLG cũng được quan tâm, nghiên cứu 31 , 32 , 33 . Tuy nhiên, các công trình này bỏ qua ảnh hưởng của nhiệt độ vì nhiều nguyên nhân mặc dù các nghiên cứu trước đây đã chỉ ra sự đóng góp đáng kể của nhiệt độ vào phổ plasmon trong các cấu trúc lớp 19 , 21 , 24 , 34 , 35 .

Bài báo này trình bày các tính toán về phổ plasmon trong BLG có xét đến hiệu ứng nhiệt độ trong gần đúng pha ngẫu nhiên bằng cách tìm điểm không của hàm điện môi động phụ thuộc nhiệt độ. Các kết quả tính toán bằng số được thực hiện bằng ngôn ngữ lập trình C++; các đồ thị được vẽ trên phần mềm Origin. Bài báo được trình bày thành bốn phần: Phần 2 (Lý thuyết) trình bày cơ sở lý thuyết về cách xác định phổ kích thích tập thể trong BLG; Phần 3 (Kết quả và thảo luận) trình bày những kết quả tính toán bằng số về phổ kích thích tập thể; những kết luận chính rút ra được trình bày trong Phần 4 (Kết luận).

LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Chúng tôi khảo sát các đặc tính của phổ kích thích tập thể trong hệ graphene lớp kép trên nền điện môi , các tính toán có kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ hữu hạn. Cũng cần chú ý rằng BLG được khảo sát trong bài báo này là cấu trúc BLG có kiểu xếp chồng AB (AB-stacked bilayer graphene), được xem là hệ hai chiều lý tưởng chứa các chuẩn hạt fermion có khối lượng với tán sắc parabol ở vùng năng lượng thấp 7 , 22 , 30 . Cấu trúc này có đặc tính khác hẳn so với cấu trúc BLG có kiểu xếp chồng AA 36 và với các cấu trúc lớp đôi graphene đã được nghiên cứu trong một số công trình trước đây 18 , 19 , 21 . Các công trình này xem xét các hệ gồm hai lớp MLG song song với khoảng cách đủ lớn (hàng chục nanomet) nên hệ được xem như hai lớp chuẩn hạt Dirac fermion không khối lượng với hệ thức tán sắc tuyến tính ở vùng năng lượng thấp.

Phổ plasmon của hệ có thể xác định từ phương trình điểm không của hàm điện môi động phụ thuộc nhiệt độ 19 , 21 , 28 , 31 , 37 , 38 :

Trong phương trình (1), là tần số plasmon ứng với vector sóng q còn là hệ số hấp thụ của các dao động plasma tương ứng. Trong trường hợp hấp thụ yếu, ta có thể xác định phổ một cách gần đúng từ điều kiện bằng không của phần thực hàm điện môi 19 , 21 , 28 , 31 , 37 , 38 :

Trong phương pháp gần đúng pha ngẫu nhiên, hàm điện môi động của BLG được xác định bằng biểu thức

trong đó, là thế tương tác Coulomb trong không gian xung lượng, là hằng số điện môi trung bình của lớp nền và không khí. là hàm phản hồi mật độ của BLG ở nhiệt độ hữu hạn, có biểu thức 8 , 9 , 22 :

Ở đây, là hàm xen phủ trạng thái và là năng lượng của điện tử trong BLG ( là khối lượng hiệu dụng của điện tử, là khối lượng nghỉ của điện tử). chỉ thừa số suy biến, tương ứng với vùng dẫn và vùng hóa trị. là hàm phân bố Fermi – Dirac, có dạng:

với là thế hóa học. Đối với BLG thì 8 , 9 , 22 .

Để thu được phổ kích thích plasmon trong hệ, ta cần giải phương trình (2) với dạng hàm điện môi trong phương trình (3) và dạng hàm phân cực được cho bởi phương trình (4). Trong bài báo này, phương trình (2) được giải số trên ngôn ngữ lập trình C++ bằng phương pháp chia đôi khoảng cách. Các kết quả thu được làm dữ liệu đầu vào để vẽ đồ thị biểu diễn phổ trên phần mềm Origin, sẽ được trình bày trong phần tiếp theo của bài báo.

KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN

Trong phần này, chúng tôi trình bày các kết quả tính toán bằng số về phổ kích thích tập thể trong BLG có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ. Các ký hiệu lần lượt dùng đề chỉ năng lượng Fermi, vector sóng Fermi và nhiệt độ Fermi trong BLG.

Figure 1 . Phổ plasmon trong BLG, mật độ hạt tải tại một số giá trị nhiệt độ khác nhau và . Vùng tô màu xám chỉ vùng kích thích đơn hạt (single-particle excitation – SPE) của hệ ở nhiệt độ không.

Figure 1 . Vùng tô màu xám chỉ vùng kích thích đơn hạt (single-particle excitation – SPE) của hệ ở nhiệt độ không.

[Download figure]

Figure 1 biểu diễn phổ plasmon trong BLG với mật độ hạt tải ở những nhiệt độ khác nhau và . Figure 1 a cho thấy, nhiệt độ làm giảm nhẹ tần số plasmon trong vùng vector sóng nhỏ nhưng lại làm tăng rất mạnh tần số plasmon trong vùng vector sóng có giá trị lớn. Trong vùng vector sóng nhỏ, nhánh phổ trong hai trường hợp (đường liền nét) và (đường đứt nét) hầu như không phân biệt được. Chúng chỉ tách nhau ra khi vector sóng nhận giá trị từ khoảng trở lên. Khi nhiệt độ tăng lên đáng kể, sự thay đổi tần số của phổ plasmon cũng thay đổi đáng kể hơn như có thể thấy trên Figure 1 b. Các nhánh phổ đã tách nhau ra tại vị trí vector sóng khá nhỏ, chỉ khoảng . Sự khác biệt của tần số plasmon tại cùng một giá trị vector sóng ứng với hai nhiệt độ khác nhau ( và ) có thể lên tới gần 20%, ở vị trí khoảng . Điều này cho thấy cũng tương tự như trong các cấu trúc lớp khác 18 , 19 , 21 , 24 , 35 , sự ảnh hưởng của nhiệt độ lên phổ plasmon trong BLG là khá mạnh, không thể bỏ qua, đặc biệt là đối với vùng vector sóng lớn.

Figure 2 . Tần số plasmon trong BLG như một hàm theo nhiệt độ tại các giá trị vector sóng khác nhau với mật độ hạt tải (a) và (b).

Figure 2 (b).

[Download figure]

Để tìm hiểu kỹ hơn ảnh hưởng của nhiệt độ lên phổ plasmon, Figure 2 vẽ tần số plasmon như một hàm theo nhiệt độ ở một vài giá trị vector sóng ứng với hai mật độ hạt tải khác nhau (a) và (b). Trên Figure 2 a, tại các vị trí và , khi nhiệt độ tăng dần từ không thì tần số plasmon giảm đi chút ít nhưng khi nhiệt độ tiếp tục tăng thì tần số plasmon tăng lên rất mạnh. Tại vị trí vector sóng có giá trị lớn hơn ( ) thì tần số plasmon là một hàm tăng dần theo nhiệt độ với mọi giá trị nhiệt độ được khảo sát. Các kết quả này hoàn toàn phù hợp với kết quả đã được trình bày trên Figure 1 . Sự phụ thuộc như trên của tần số plasmon vào nhiệt độ cũng tương tự như trường hợp MLG trong các cấu trúc lớp đã được nghiên cứu trước đây 21 , 35 . Có thể nhận thấy rằng, dạng của các đường cong biểu diễn phổ plasmon trên Figure 2 b cũng không khác nhiều so với Figure 2 a mặc dù mật độ hạt tải đã được tăng lên 10 lần. Tuy nhiên, sự giảm xuống của tần số plasmon khi nhiệt độ tăng trong vùng lân cận nhiệt độ không là rất khó nhận ra. Nói cách khác, sự tăng lên của mật độ hạt tải trong BLG đã làm suy yếu ảnh hưởng của nhiệt độ lên phổ plasmon trong BLG.

Figure 3 . Phổ plasmon BLG ở nhiệt độ và với hai giá trị mật độ khác nhau: và . Các đường chấm – gạch biểu diễn đường biên vùng SPE ở nhiệt độ không.

Figure 3 . Các đường chấm – gạch biểu diễn đường biên vùng SPE ở nhiệt độ không.

[Download figure]

Cuối cùng, chúng tôi xem xét ảnh hưởng của mật độ hạt tải trong BLG lên phổ kích thích tập thể trong hệ, so sánh trường hợp nhiệt độ hữu hạn và trường hợp nhiệt độ không. Trên Figure 3 , chúng tôi vẽ phổ kích thích tập thể trong BLG ở nhiệt độ hữu hạn ( ) và nhiệt độ không với hai mật độ hạt tải khác nhau là và để có sự so sánh. Các hình vẽ cho thấy mật độ hạt tải tăng lên làm giảm đi đáng kể tần số plasmon trong hệ ở cả nhiệt độ không và nhiệt độ hữu hạn. Sự thay đổi tần số xảy ra nhiều hơn đối với trường hợp nhiệt độ không. Kết quả này là do sự phụ thuộc của tham số tương tác trong BLG vào mật độ hạt tải ( , tương tự như trong 2DEG thông thường). Khi mật độ hạt tải tăng lên thì tham số tương tác giảm đi, làm cho năng lượng plasmon cũng giảm theo 9 , 22 . Có thể nói rằng, nhiệt độ đã làm giảm ảnh hưởng của mật độ hạt tải lên đặc tính plasmon bên trong BLG.

KẾT LUẬN

Bài báo đã trình bày những tính toán bằng số về phổ kích thích tập thể trong cấu trúc graphene lớp kép trong gần đúng pha ngẫu nhiên có xét đến hiệu ứng nhiệt độ. Kết quả cho thấy, sự phụ thuộc của tần số plasmon vào nhiệt độ khi vector sóng lớn và nhỏ là khác nhau. Trong vùng vector sóng lớn, nhiệt độ tăng làm tần số plasmon tăng lên đáng kể trong khi tần số này lại giảm đi chút ít khi nhiệt độ tăng nhẹ từ không trong vùng vector sóng đủ nhỏ. Bên cạnh đó, mật độ hạt tải trong BLG tăng lên làm giảm mạnh tần số plasmon và khi đó, phổ kích thích tập thể cũng phụ thuộc yếu hơn vào sự thay đổi của nhiệt độ. Như vậy, phổ kích thích tập thể trong BLG có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ khác nhiều so với trường hợp nhiệt độ không đã được khảo sát và trình bày trong các công trình trước đây. Do đó, để cải thiện mô hình lý thuyết thì việc tính đến ảnh hưởng của nhiệt độ khi khảo sát đặc tính plasmon trong graphene lớp kép là điều cần thiết.

LỜI CẢM ƠN

Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Phát triển khoa học và công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) trong đề tài mã số 103.01-2020.11.

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

2DEG: two-dimensional electron gas

BLG: bilayer graphene

DLG: double-layer graphene

MLG: monolayer graphene

SPE: single-particle excitation

XUNG ĐỘT LỢI ÍCH

Tác giả cam kết không có xung đột về lợi ích.

ĐÓNG GÓP CỦA TÁC GIẢ

Nguyễn Văn Mện: tiếp cận lý thuyết, lập trình, thu thập và xử lý số liệu, viết bản thảo, chỉnh sửa bản thảo.

References

  1. Garcia-de-Abajo FJ. Graphene plasmonics: challenges and opportunities. ACS Photonics. 2014;1:135. . ;:. Google Scholar
  2. Geim AK, MacDonald AH. Graphene: Exploring carbon flatland. Physics Today. 2007;60:35. . ;:. Google Scholar
  3. Geim AK, Novoselov KS. The rise of graphene. Nature Mater. 2007;6:183. . ;:. Google Scholar
  4. González PA, Nikitin AY, Gao Y, Woessner A, Lundeberg MB, Principi A, et al. Acoustic terahertz graphene plasmons revealed by photocurrent nanoscopy. Nature Nanotechnology. 2017;12:31. . ;:. Google Scholar
  5. Grigorenko AN, Polini M, Novoselov KS. Graphene plasmonics. Nature Photonics. 2012;6:749. . ;:. Google Scholar
  6. Gosciniak J, Tan DTH. Graphene-based waveguide integrated dielectric-loaded plasmonic electro-absorption modulators. Nanotechnology. 2013;24:185202. . ;:. Google Scholar
  7. CastroNeto AH, Guinea F, Peres NMR, Novoselov KS, Geim AK. The electronic properties of graphene. Reviews of Modern Physics. 2009;81:109. . ;:. Google Scholar
  8. DasSarma S, Adam S, Hwang EH, Rossi E. Electronic transport in two dimensional graphene. Reviews of Modern Physics. 2011;83:407. . ;:. Google Scholar
  9. DasSarma S, Hwang EH, Rossi E. Theory of carrier transport in bilayer graphene. Physical Review B. 2010;81:161407. . ;:. Google Scholar
  10. Bruus H, Flensberg K. Introduction to Many-Body Theory in Condensed Matter Physics: Oxford University Press; 2002. . ;:. Google Scholar
  11. Czachora A, Holas A, Sharma SR, Singwi KS. Dynamical correlations in a two-dimensional electron gas: First-order perturbation theory. Phys Rev B. 1982;25(4):2144. . ;:. Google Scholar
  12. Ju L, Geng B, Horng J, Girit C, Martin M, Hao Z, et al. Graphene plasmonics for tunable terahertz metamaterials. Nature Nanotechnology. 2011;6:630. . ;:. Google Scholar
  13. Ni GX, McLeod AS, Sun Z, Wang L, Xiong L, Post KW, et al. Ultrafast optical switching of infrared plasmon polaritons in high-mobility graphene. Nature Photonics. 2016;10:244. . ;:. Google Scholar
  14. Lundeberg MB, Gao Y, Asgari R, Tan C, Duppen BV, Autore M, et al. Thermoelectric detection and imaging of propagating graphene plasmons. Nature Materials. 2017;16:204. . ;:. Google Scholar
  15. Jiang BY, Ni G-X, Addison Z, Shi JK, Liu X, Zhao SYF, et al. Plasmon reflections by topological electronic boundaries in bilayer graphene. Nano Letters 2017;17:7080. . ;:. Google Scholar
  16. Sunku SS, Ni GX, Jiang BY, Yoo H, Sternbach A, McLeod AS, et al. Photonic crystals for nano-light in moire graphene superlattices. Sicence. 2018;362:1153. . ;:. Google Scholar
  17. Ni GX, McLeod AS, Sun Z, Wang L, Xiong L, Post KW, et al. Fundamental limits of graphene plasmonics. Nature. 2018;557:530. . ;:. Google Scholar
  18. Hwang EH, DasSarma S. Exotic plasmon modes of double layer graphene. Physical Review B. 2009;80:205405. . ;:. Google Scholar
  19. Vazifehshenas T, Amlaki T, Farmanbar M, Parhizgar F. Temperature effect on plasmon dispersions in double-layer graphene systems. Physics Letters A. 2010;374(48):4899-903. . ;:. Google Scholar
  20. Badalyan SM, Peeters FM. Effect of nonhomogenous dielectric background on the plasmon modes in graphene double-layer structures at finite temperatures. Physical Review B. 2012;85(19):195444. . ;:. Google Scholar
  21. Tuan DV, Khanh NQ. Plasmon modes of double-layer graphene at finite temperature. Physica E. 2013;54:267-72. . ;:. Google Scholar
  22. Sensarma R, Hwang EH, DasSarma S. Dynamic screening and low energy collective modes in bilayer graphene. Physical Review B. 2011;82:195428. . ;:. Google Scholar
  23. Hwang EH, DasSarma S. Dielectric function, screening, and plasmons in two-dimensional graphene. Physical Review B. 2007;75:205418. . ;:. Google Scholar
  24. Ramezanali MR, Vazifeh MM, Asgari R, Polini M, MacDonald AH. Finite-temperature Screening and the Specific Heat of Doped Graphene Sheets. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2009;42:214015. . ;:. Google Scholar
  25. Politano A, Argurio P, Profio GD, Sanna V, Cupolillo A, Chakraborty S, et al. Photothermal Membrane Distillation for Seawater Desalination. Advanced Materials. 2017;29(2):201603504. . ;:. Google Scholar
  26. Politano A, Cupolillo A, Profio GD, Arafat HA, Chiarello G, Curcio E. When plasmonics meets membrane Technology. J Phys Condens Matter. 2016;28:363003. . ;:. Google Scholar
  27. Yan H, Li X, Chandra B, Tulevski G, Y.Wu, Freitag M, et al. Tunable infrared plasmonic devices using graphene/insulator stacks. Nature Nanotech. 2012;7:330. . ;:. Google Scholar
  28. Zhu J-J, Badalyan SM, Peeters FM. Plasmonic excitations in Coulomb-coupled N-layer graphene structures. Physical Review B. 2013;87:085401. . ;:. Google Scholar
  29. Phuong DTK, Men NV. Plasmon modes in 3-layer graphene structures: Inhomogeneity effects. Physics Letters A. 2019;383:125971. . ;:. Google Scholar
  30. Wang X-F, Chakraborty T. Coulomb screening and collective excitations in a graphene bilayer. Physical Review B 2007;75:041404(R). . ;:. Google Scholar
  31. Men NV, Khanh NQ, Phuong DTK. Plasmon modes in double bilayer graphene heterostructures. Solid State Communications. 2019;294:43-8. . ;:. Google Scholar
  32. Men NV, Khanh NQ, Phuong DTK. Plasmon modes in N-layer bilayer graphene structures. Solid State Communications. 2019;298:113647. . ;:. Google Scholar
  33. Men NV, Phuong DTK. Plasmon modes in bilayer-graphene-GaAs heterostructures including layer-thickness and exchange-correlation effects. International Journal of Modern Physics B. 2018;32(23):1850256. . ;:. Google Scholar
  34. Digish KP. Transport properties of monolayer and bilayer graphene. India: The Maharaja Sayajirao University Of Baroda; 2015. . ;:. Google Scholar
  35. Men NV, Khanh NQ, Phuong DTK. Plasmon modes in MLG-2DEG heterostructures: Temperature effects. Physics Letters A. 2019;183:1364. . ;:. Google Scholar
  36. Rold'an R, Brey L. Dielectric screening and plasmons in AA-stacked bilayer graphene. PHYSICAL REVIEW B. 2013;88:115420. . ;:. Google Scholar
  37. Men NV, Khanh NQ. Plasmon modes in Dirac-Schrödinger hybrid electron systems including layer-thickness and exchange-correlation effects. Can J Phys. 2018;96:615. . ;:. Google Scholar
  38. Men NV, Phuong DTK. Plasmon modes in graphene GaAs heterostructures at finite temperature. Int J Mod Phys B. 2019;33(16):1950174. . ;:. Google Scholar


Author's Affiliation
Article Details

Issue: Vol 5 No 3 (2021)
Page No.: 1455-1460
Published: Aug 19, 2021
Section: Original Research
DOI: https://doi.org/10.32508/stdjns.v5i3.968

 Copyright Info

Creative Commons License

Copyright: The Authors. This is an open access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License CC-BY 4.0., which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original author and source are credited.

Funding data


 How to Cite
Nguyen Van, M. (2021). Plasmon modes in bilayer graphene at finite temperature. Science & Technology Development Journal: Natural Sciences, 5(3), 1455-1460. https://doi.org/https://doi.org/10.32508/stdjns.v5i3.968


 Download Citation
 Cited by

Article level Metrics by Paperbuzz/Impactstory
Article level Metrics by Altmetrics

 Article Statistics
HTML = 7934 times
PDF   = 87 times
XML   = 0 times
Total   = 87 times